მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფა

ამ გაკვეთილში მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფას შევეხებით.

ეს პროცესი კონკრეტული მრავალწევრების მაგალითზე განვიხილოთ და შემდეგ ჩამოვაყალიბოთ ალგორითმი.

მაგალითად, (4x^4-3x^3+x^2-4x+1) გავყოთ (x^2-x-2)-ზე.

*შენიშვნა (^2) იგივეა, რაც რიცხვის კვადრატი

ამრიგად, მივიღეთ არასრული განაყოფი - 4x^2+x+10 და ნაშთი - 8x+21.

აქედან გამომდინარე, ჩამოვაყალიბოთ მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფის ალგორითმი:

I. გასაყოფის უდიდესხარისხიანი წევრი გავყოთ გამყოფის უდიდესხარისხიან წევრზე და დავწეროთ მიღებული შედეგი პასუხში (ჩვენს შემთხვევაში 4x^4:x^2=4x^2).

II. განაყოფში დაწერილი წევრი გავამრავლოთ გამყოფზე და გამოვაკლოთ გასაყოფს.

III. გავაგრძელოთ ეს პროცესი იქამდე, სანამ არ მივიღებთ ნაშთს, რომლის უდიდესი ხარისხიც ნაკლებია გამყოფის უდიდეს ხარისხზე.

აღნიშნულ მეთოდს ვიყენებთ იმ მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოსახსნელად, რომლებსაც იმდენი მთელი ფესვი აქვს, რომ აღნიშნული განტოლება დავიდეს კვადრატულზე.

ახლა ავხსნათ ეს რთული ნათქვამი.

განვიხილოთ განტოლება: x^4-10x^3+35x^2-50x+24=0. ამ განტოლების ამოსახსნელად:

I. მოვძებნოთ თავისუფალი წევრის გამყოფები:

24-ის გამყოფებია: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 (უნდა მოსინჯოთ მათი მოპირდაპირე უარყოფითი გამყოფებიც).

II. მოვსინჯოთ ეს ფესვები:

პირველ რიგში, 1.

1^4-10*1^3+35*1^2-50*1+24=0, ამიტომ 1 ამ განტოლების ფესვია.

ვინაიდან 1 ამ განტოლების ფესვია, x^4-10x^3+35x^2-50x+24 უნაშთოდ გაიყოფა (x-1) ორწევრზე.

ამ გაყოფის შესრულებით მივიღებთ სრულ განაყოფს, (x^3-9x^2+26x-2)-ს

ეს განტოლება კუბურია, ამიტომ დაგვჭირდება კიდევ ერთი ფესვის პოვნა, რომ კვადრატულზე დავიყვანოთ.

ახლა მოვსინჯოთ -1.

მისი ჩასმით არასწორი ტოლობა მიიღება, ამიტომ -1 არაა ფესვი.

ახლა მოვსინჯოთ 2.

2^4-10*2^3+35*2^2-50*2+24=0, ანუ ამ განტოლების მეორე ფესვია 2. x^3-9x^2+26x-24 მრავალწევრის (x-2) ორწევრზე გაყოფით მივიღებთ სრულ განაყოფს: (x^2-7x+12)-ს.

მიღებული კვადრატული განტოლების ამოხსნა უკვე ძალიან მარტივია. მისი ფესვებია 3 და 4.

ამრიგად, x^4-10x^3+35x^2-50x+24 განტოლების ფესვებია 1, 2, 3 და 4.

შენიშვნა: ამოხსნის ეს მეთოდი გვადგება მხოლოდ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა განტოლებას აქვს იმდენი მთელი ფესვი, რომ ეს განტოლება კვადრატულზე დავიყვანოთ. საბოლოოდ, ეს ხერხი მაინც გამოსადეგია, რადგან სასკოლო პროგრამებში, ძირითადად, ასეთი სახის მთელფესვიანი განტოლებები გვხვდება.

ამოცანები, რომელთა ამოხსნაც დაგეხმარებათ თემის უკეთ გააზრებაში:

1. x^4-3x^3+ax^2-bx+2 ხუთწევრის x^2+3x+4 სამწევრზე გაყოფისას ნაშთი 2x - 7 მიიღება. იპოვეთ a და b პარამეტრები.

2. ამოხსენით განტოლება: x^4-2x^3-13x^2+14x+24=0

მითითება: ^ ხარისხს აღნიშნავს. x^2 ნიშნავს იქს კვადრატს, x^3 - იქს კუბს და ა.შ.